计算圆周率这个问题有点意思，动手试了一下：

级数1： 1-1/3+1/5-1/7+1/9......=pi/4         (Leibniz 定理)
级数2： sum( 1/(k*k),  k=1,infinity ) = Pi * Pi / 6

貌似级数2应该快很多，其实不然。

下面给出的结果中：
n=取的项数
级数1的Pi， 其误差
级数2的Pi， 其误差


计算结果：
=============
n=1000=1e3
   3.14059265383979，  -9.999997499989810E-004
   3.14063805620599，  -9.545973837985500E-004

n=100000=1e5
   3.14158265358972，  -1.000000007334023E-005
   3.14158310432646，  -9.549263336960934E-006

n=10000000=1e7
   3.14159255358979,   -1.000000016126990E-007
   3.14159255809590,   -9.549389057283975E-008

n=1000000000=1e9 
   3.14159265258805,   -1.001742688799823E-009
   3.14159264498239,   -8.607403234606181E-009

   反向求和(见讨论5)
   3.14159265258979，  -9.999996386511611E-010
   3.14159265263486，  -9.549299129218980E-010

n=10000000000=1e10
   3.14159265348835，  -1.014472950089385E-010
   3.14159264498239，  -8.607403234606181E-009

   反向求和(见讨论5)
   3.14159265348979，  -1.000000082740371E-010
   3.14159265349430，  -9.549294688326881E-011

取同样项数n，收敛速度的讨论：
1。级数2一比级数1快一点，但并不显著，基本上是同量级的；
2。当项数取到约为1e9时，级数2开始放慢，级数1精度超出。

3。级数2的一般项为1/(k*k)量级，当k大到1e9的量级时，其值约为1e-18的量级，太小，加不到3.14量级的数上去；
4。级数1的一般项为1/k量级，当k为1e9的量级时，其值约为1e-9的量级，仍然可以加到3.14量级的数上去，使结果得到改善。

5。一种更加稳定的算法是从最小值的项开始计算，反向求和（k=n,1,-1），其结果矫正了数值不稳定，仍然显示级数2比级数1稍快一点。

6。此外，级数2收敛到Pi*Pi，计算Pi时还要开方，而开方运算是放大误差的。

探讨。。。

mltx 你没有进行误差估计并补偿之，所以用 sum(1/(k*k), k = 1, infinity) = Pi * Pi / 6 得到的精度并不高。我在另贴中附了源代码，你可以看看。

    另外，开放不一定放大误差。比如 y = sqrt(x)
delta(y) = delta(x) / (2 sqrt(x))， 当 x 较大时， delta(y) 也会较小。

大家这么热心，谢谢了

mtlx 老师，可以把你的代码：级数1： 1-1/3+1/5-1/7+1/9......=pi/4         (Leibniz 定理)    发给贴出来看看么？

   我那个遍的好像不怎么好，  想学习下，谢谢了

[quote]mltx 你没有进行误差估计并补偿之，所以用 sum(1/(k*k), k = 1, infinity) = Pi * Pi / 6 得到的精度并不高。我在另贴中附了源代码，你可以看看。...[/quote]

当然同意。

俺动手做了试算，是想理解“告诉你一个收敛的快的级数不用，用一个收敛的很慢的交错级数，”这句话在多大程度上是对的。俺想回答的是：不做任何附加算法，仅就两个级数的自然顺序求前n项和，是不是那个交错级数就收敛得很慢。

用附加算法提高精度或提高收敛速度，都应该另当别论。其实，包括反向求和都可以算是附加算法。而从对求和方向的敏感度来看，交错级数反而是不敏感的，也是更加稳定的。你的那段代码，若循环改为1,step,1，则马上成为不稳定的算法。

不过，学兄对级数算法很熟，学习。俺只是自己动手求第一手真知罢了。

探讨。。。

nosper:
俺没贴出代码是因为俺的代码不很精细，只是为了检验收敛速度而简单编写的。学兄可参考代码编写，要想真正有用，还要在算法上下功夫，如asymptotic所列举的带有误差补偿的算法。

[color=FF0000]搂主肯自己动手尝试编写代码，获得实战经验，是值得鼓励的[/color]！

program Pi
   implicit none
   real(8)    :: val,rk
   integer(8) :: k,s,n=1000000

   !   1-1/3+1/5-1/7+1/9......=pi/4   (Leibniz 定理)
   val = 0.d0
   s = -1
   do k=1,n
      s = -s
      rk = real(2*k-1,8)
      val = val + s/rk
   end do
   write(*,*) val*4,  n,  abs(val*4)-atan(1.d0)*4

   stop
end program Pi

谢谢忙里偷闲先生了