主题:《折线》
〖题目描述〗
给定m*n方格,某些方格内不可通行,求左上到右下最短路。
〖基本算法〗
本题使用动态规划求解。
记f(x,y)为从(0,0)走到(x,y)的最短路的长度,有
f(x,y)= min {f(i,j)+ sqrt(sqr(x-i)+ sqr(y-j)),格子(i,j)不在(x,y)右或下方且可直达};
特别的,f(0,0)= 0;
算法的复杂度为O(m^3 * n^3)。
〖优化〗
上面这个算法是极其浪费的。事实上,可以很容易证明,如果一条路径有一个"拐弯"的地方不是某个障碍的左下或右上角,这条路一定不是最短路(下图)。所以我们可以对动态规划算法做个优化:
f(x,y)= min {f(i,j)+ sqrt(sqr(x-i)+ sqr(y-j)),格子(i,j)不在(x,y)右或下方且可直达且格子(i,j)位于某个障碍的左下或右上角};
另外我们只对障碍左下或右上角的格点及终点求f(x,y)。
这样改进以后算法的复杂度为O(m * n * w^2)(w为障碍数),时间效率是很高的了。
当然,本题还有很多优化方法,比如旋转坐标轴,然后仅对"最近的"障碍扫描等等
给定m*n方格,某些方格内不可通行,求左上到右下最短路。
〖基本算法〗
本题使用动态规划求解。
记f(x,y)为从(0,0)走到(x,y)的最短路的长度,有
f(x,y)= min {f(i,j)+ sqrt(sqr(x-i)+ sqr(y-j)),格子(i,j)不在(x,y)右或下方且可直达};
特别的,f(0,0)= 0;
算法的复杂度为O(m^3 * n^3)。
〖优化〗
上面这个算法是极其浪费的。事实上,可以很容易证明,如果一条路径有一个"拐弯"的地方不是某个障碍的左下或右上角,这条路一定不是最短路(下图)。所以我们可以对动态规划算法做个优化:
f(x,y)= min {f(i,j)+ sqrt(sqr(x-i)+ sqr(y-j)),格子(i,j)不在(x,y)右或下方且可直达且格子(i,j)位于某个障碍的左下或右上角};
另外我们只对障碍左下或右上角的格点及终点求f(x,y)。
这样改进以后算法的复杂度为O(m * n * w^2)(w为障碍数),时间效率是很高的了。
当然,本题还有很多优化方法,比如旋转坐标轴,然后仅对"最近的"障碍扫描等等