主题：[讨论]请教一个数学问题
URCLLC
[专家分：1080] 发布于 2006-06-26 17:17:00
近日设计一个加密算法,其中一个支撑点是以下命题,万望各位给我判断一下是否成立:
方程sin(a)=sin(b),a∈Q,b∈Q(a,b代表弧度)
只有符合a=b的解,而无其它类型的解
用普通语言描述就是:不存在两个不同的有理数,它们的正弦值会相同.[em18]
回复列表 （共4个回复）
沙发
aboutbmp [专家分：830] 发布于 2006-06-26 22:56:00
中学数学问题啊，画个正弦曲线图很容易就看出来你的推论是错的。
sin(a)=sin(b); 可推出 a = b + 2π*k; 或者 a = π - b + 2π*k， k为整数。
板凳
URCLLC [专家分：1080] 发布于 2006-06-27 14:11:00
2楼老兄,你有无见到a∈Q,b∈Q
我要的是有理数解集,不是无理数解集,你那此解有π,是无理数解了
3 楼
aboutbmp [专家分：830] 发布于 2006-06-27 14:34:00
抱歉哦，没看仔细。限定有理数的话，命题是成立的，可证明：
2π*k = a - b 推出 k ＝ 0; 否则 π ＝ (a - b)/2k，是一个有理数；则 a = b;
(2k + 1)π = a + b; 则 π ＝ (a + b)/(2k+1), 显然不成立；
综上， a ＝ b
4 楼
LostAbaddon [专家分：40] 发布于 2006-11-16 03:26:00
这个证明不严密。
两个数的正弦相等的条件是这两个点关于pi/2+n*pi对称。楼上仅仅是说在对称距离为pi/2时无解而已。
a=pi/2+n*pi-c
so, c=pi/2+n*pi-a
b=pi/2+n*pi+c
so, b=pi+2n*pi+a
a∈Q,2n+1不可能为0（n为整数），所以b必然不是有理数。
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