您所在位置：主题：用追赶法解线性方程组
hulijundemama
[专家分：0] 发布于 2006-10-24 15:01:00
考虑如下方程：
其中， 是以 为自变量的一元函数。边界条件为： 真解为： 。
1. 网格剖分： （这种网格称为一致网格(Uniform Mesh)，我们在后面将介绍Shishkin网格和Bakhvolov网格，编程时请使用后两种网格。）
2.
3. （后面将介绍其他离散格式）
4. 离散后变成线性代数方程组AU=b。系数矩阵A为三对角矩阵，可以用追赶法、消元法、超松弛迭代法（SOR）或者其他方法求解线性代数方程组。
求数值解并用图形表示，并与真解进行比较（图形中包括数值解和真解）。填写如下表格。
误差的 范数
与下一行误差之比 以2为底，左列数值的对数
N=32
N=64
N=128
N=256
N=512 （空白） （空白）
误差的 范数
与下一行误差之比 以2为底，左列数值的对数
N=32
N=64
N=128
N=256
N=512 （空白） （空白）
提示：需要在Turbo C下画图，编辑源代码时输入line (画直线)，将光标移动到该单词，按下<Ctrl> + <F1>查看帮助（或直接打开Help，选择Index，输入line），打开“line example”，将例子拷贝下来，再修改 initgraph 函数中的路径，注意反斜杠要用转义字符，例 initgraph(&gdriver, &gmode, "E:\\TC\\BGI"); 在“帮助”或其他资料中查找其他的绘图函数。
（示范）
也可以将数据输出到一个文件（文件名为学号，后缀为plt，如：2004750209.plt，用图形软件Tecplot能直接画图），文件格式如下：
当区间剖分为256份后，共有257个点（包括左右边界点）及相应的函数值，每个点的横坐标和纵坐标占1行，中间用空格，加上第一行，文件“2004750209.plt”共258行。
最终提交包含两个文件（若有Tecplot格式的数据文件则增加一个）的以学号命名的文件夹。一个是Word文档包括班级、学号、姓名、图形（Windows XP下不能将图形剪切到剪贴板）、表格和相关说明文字，另一个是程序源代码。
作业要求单独完成，若发现有抄袭情况，抄袭者和被抄袭者将共享所的分数。（满分100）
每个班由学习委员将所有同学的试卷保存到U盘，于2006年10月31日上午交数学楼105东，过期不候。有问题请到办公室讨论。
方程真解图形如下：
这是一个定常对流扩散方程。定常是指方程与时间无关，方程中的 是对流项， 是扩散项。如 ， ， ， 等都是非定常方程。
该方程的解在右边存在一个边界层。（水从管道内流动，我们可以近似认为充分靠近管道内壁的那“层”水的流动速度为零，而管道中心水流速度可以达到一个很大的值。也就是说，考虑从管道中心到管道内壁流体速度的变化，即 在区间 的变化。容易知道，当 充分接近 时， 的数值急速下降为零。同样地，我们也可以把激波当成一个边界层来处理。事实上，我们在数值求解激波位置时往往用一条曲线来表示激波。）
对上述方程的数值模拟，我们应该把重点放在对边界层的模拟上。远离边界层的地方由于解函数连续且变化缓慢，大多数的数值方法都能较好地模拟出来，对网格剖分的要求也不高，一般用一致网格（Uniform Mesh）即均匀剖分。为了更好地模拟出边界层，我们建议使用Shishkin网格或Bakhvolov网格。这两种网格都会将点尽可能地分布在边界层内。假设将求解区间 分为N（偶数）份，则
Shishkin网格为：
，一般取 容易看出，Shishkin网格本质上就是分片一致网格，在 和 分别等分 等份和 等份。
Bakhvolov网格为：
，
一般取 容易看出，Bakhvolov网格在 上是一致网格，而在 上是非等距网格。
在非等距网格上 的离散：
(1) ，其中 .将 用泰勒(Taylor)公式展开，即： ，将之代入到离散格式中即得
(2) ，同样可以用Taylor公式证明其只有一阶精度。
(3) ,
将
和 代入离散格式，
为使之达到二阶精度，要求 ，解得
我们把离散格式(1)称为向后迎风格式，(2)称为向前迎风格式，(3)称为中心格式。为保证离散后的系数矩阵A为三对角矩阵，我们在这里无法使用更高阶的离散格式。
在非等距网格上 的离散：
设离散格式为 ，其中a, b和c为待定常数。将 和
代入离散格式，
为使之达到二阶精度，要求
解得
当 时，化简为 。
注1：对于Shishkin网格，在点 处，由于左右两边的网格距离不相等，需要用非等距网格的离散公式。
注2：对于Bakhvolov网格，在点 及右边，都需要用非等距网格的离散公式。
注3：当 时，计算 ， ，
，故在标准C中，即使是双精度型变量也无法存储该数据，可以考虑将之变形为： 。
（Turbo C中，双精度型数据以11位存储指数部分）
注4：（表格解释）若离散格式为k阶逼近，即真解与数值解的误差为 ，假设误差能表示为 ，C为常数。最后一列：
，事实上，数值解总存在误差，并且上述误差中的因子C在通常情况下不是常数，所以，我们得到的结果应该在k附近变化。
注5：误差的 范数用公式： ；误差的 范数用公式： 。
其中， 是以 为自变量的一元函数。边界条件为： 真解为： 。
1. 网格剖分： （这种网格称为一致网格(Uniform Mesh)，我们在后面将介绍Shishkin网格和Bakhvolov网格，编程时请使用后两种网格。）
2.
3. （后面将介绍其他离散格式）
4. 离散后变成线性代数方程组AU=b。系数矩阵A为三对角矩阵，可以用追赶法、消元法、超松弛迭代法（SOR）或者其他方法求解线性代数方程组。
求数值解并用图形表示，并与真解进行比较（图形中包括数值解和真解）。填写如下表格。
误差的 范数
与下一行误差之比 以2为底，左列数值的对数
N=32
N=64
N=128
N=256
N=512 （空白） （空白）
误差的 范数
与下一行误差之比 以2为底，左列数值的对数
N=32
N=64
N=128
N=256
N=512 （空白） （空白）
提示：需要在Turbo C下画图，编辑源代码时输入line (画直线)，将光标移动到该单词，按下<Ctrl> + <F1>查看帮助（或直接打开Help，选择Index，输入line），打开“line example”，将例子拷贝下来，再修改 initgraph 函数中的路径，注意反斜杠要用转义字符，例 initgraph(&gdriver, &gmode, "E:\\TC\\BGI"); 在“帮助”或其他资料中查找其他的绘图函数。
（示范）
也可以将数据输出到一个文件（文件名为学号，后缀为plt，如：2004750209.plt，用图形软件Tecplot能直接画图），文件格式如下：
当区间剖分为256份后，共有257个点（包括左右边界点）及相应的函数值，每个点的横坐标和纵坐标占1行，中间用空格，加上第一行，文件“2004750209.plt”共258行。
最终提交包含两个文件（若有Tecplot格式的数据文件则增加一个）的以学号命名的文件夹。一个是Word文档包括班级、学号、姓名、图形（Windows XP下不能将图形剪切到剪贴板）、表格和相关说明文字，另一个是程序源代码。
作业要求单独完成，若发现有抄袭情况，抄袭者和被抄袭者将共享所的分数。（满分100）
每个班由学习委员将所有同学的试卷保存到U盘，于2006年10月31日上午交数学楼105东，过期不候。有问题请到办公室讨论。
方程真解图形如下：
这是一个定常对流扩散方程。定常是指方程与时间无关，方程中的 是对流项， 是扩散项。如 ， ， ， 等都是非定常方程。
该方程的解在右边存在一个边界层。（水从管道内流动，我们可以近似认为充分靠近管道内壁的那“层”水的流动速度为零，而管道中心水流速度可以达到一个很大的值。也就是说，考虑从管道中心到管道内壁流体速度的变化，即 在区间 的变化。容易知道，当 充分接近 时， 的数值急速下降为零。同样地，我们也可以把激波当成一个边界层来处理。事实上，我们在数值求解激波位置时往往用一条曲线来表示激波。）
对上述方程的数值模拟，我们应该把重点放在对边界层的模拟上。远离边界层的地方由于解函数连续且变化缓慢，大多数的数值方法都能较好地模拟出来，对网格剖分的要求也不高，一般用一致网格（Uniform Mesh）即均匀剖分。为了更好地模拟出边界层，我们建议使用Shishkin网格或Bakhvolov网格。这两种网格都会将点尽可能地分布在边界层内。假设将求解区间 分为N（偶数）份，则
Shishkin网格为：
，一般取 容易看出，Shishkin网格本质上就是分片一致网格，在 和 分别等分 等份和 等份。
Bakhvolov网格为：
，
一般取 容易看出，Bakhvolov网格在 上是一致网格，而在 上是非等距网格。
在非等距网格上 的离散：
(1) ，其中 .将 用泰勒(Taylor)公式展开，即： ，将之代入到离散格式中即得
(2) ，同样可以用Taylor公式证明其只有一阶精度。
(3) ,
将
和 代入离散格式，
为使之达到二阶精度，要求 ，解得
我们把离散格式(1)称为向后迎风格式，(2)称为向前迎风格式，(3)称为中心格式。为保证离散后的系数矩阵A为三对角矩阵，我们在这里无法使用更高阶的离散格式。
在非等距网格上 的离散：
设离散格式为 ，其中a, b和c为待定常数。将 和
代入离散格式，
为使之达到二阶精度，要求
解得
当 时，化简为 。
注1：对于Shishkin网格，在点 处，由于左右两边的网格距离不相等，需要用非等距网格的离散公式。
注2：对于Bakhvolov网格，在点 及右边，都需要用非等距网格的离散公式。
注3：当 时，计算 ， ，
，故在标准C中，即使是双精度型变量也无法存储该数据，可以考虑将之变形为： 。
（Turbo C中，双精度型数据以11位存储指数部分）
注4：（表格解释）若离散格式为k阶逼近，即真解与数值解的误差为 ，假设误差能表示为 ，C为常数。最后一列：
，事实上，数值解总存在误差，并且上述误差中的因子C在通常情况下不是常数，所以，我们得到的结果应该在k附近变化。
注5：误差的 范数用公式： ；误差的 范数用公式： 。
