泰勒(Taylor)展开

在计算（ln(x)),时，当  x和1的差很大时，迭代非常慢，直接使用泰勒公式不可取，需要做一些预处理，才可以使用泰勒公式。例如：ln(x)=ln(x0   *   x1)=ln(x0)+ln(x1),x0:可以通过某种方法求的，x1非常接近于1，这样就可以求得ln(x),此题的关键如何选取x0,使得x0的对数很容易求得，而且x0非常接近于x.   

  这里提供一个链接(求一些常数的对数，平方根等)http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html   

  下面是这个算法的实现方法：
  1.通过特殊的方法事先计算出一些小质数的对数，如集合a=   
    {2,3,5,7,11,13}   
    
   2.找出一组分数，形成数组b,使这些分数依次递增并且大致呈等比数列分布，并且这些分数的分子和分母的所有质因数均来自集合a,且任意两个数的比小于d1,d1略大于1， 这些分数的对数很容易算出 
   例：数组b={ 1，11/10,6/5,13/10,7/5,3/2,8/5,9/5,2,21/10,11/5,12/5,13/5,3,16/5,...49/5,10}
={1,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.8,2,2.1,2.2,2.4,2.6,3,,3.2,...9.8,10)
   
   3。如果求x的对数，可首先将其化为   x1*10^f1的形式，则lg(x)=lg(x1)+f1.   
    
   4. 在数组b中，找一个数b[i],使b[i]<x1<b[i+1],令f2=b[i],x1=x2*f2,则lg(x)=lg(x1)+f1=  f1+ lg(f2)+  lg(x2),这里x2  一定小于d1，换言之，x2是一个略大于1的数，可以利用泰勒公式求值，且速度很快。   
        
   5。如果想得到更高的精度，在利用泰勒公式求x2时，需要计算的项仍然很多，这时可以再建立一个数组c[1..n],使c[n]略大于d1，对于每一个i,c[i+1]/c[i]<d2,d2是一个比d1  更接近1的数，这样  x2= f3 *  x3   ,f3为数组c中的某一个元素,lg(x)=f1+lg(f2)+lg(f3)+lg(x3)，由于1<x3<d2<d1,故在利用泰勒公式求lg(x3)时，计算的项数将更少。   
   6。按此思路，为了减少计算量，可以继续做一个数组d,依次类推。但是数组不可以不断增加，一方面增加了存储空间，另一方面，在构建数组d[1..n]时,d[1]>1,d[n]小于dx,dx越小，满足条件（数组各个元素可以用分数表示，分数的分子分母的所有质因数均为小质数，且分子分母不不能超过计算机中整数的表示范围）的数组元素越少。   
   
   7。在查表时，可以使用2分查找算法，如果想进一步提高速度，也可以使用公式法,由一个数x 直接计算出数组下标
      
   利用这个算法可以将某一个数的对数计算到很高精度，且速度很快，这是我在编写超级计算器时，经过长时间的独立思考而得到的一个算法，本算法首次公开于 2004-03-15 公布于csdn。   
   
  
  

以上是我自己想出来的算法，理论界一些更优秀的算法比这个更快，下面列出一些著名的计算对数的算法。
  1。AGM 算法，数学王子 高斯 发明， 该法在计算 对数 和 圆周率 方面 颇为有效，我最早看到这个算法的应用 就是 圆周率的计算，我读过apfloat的代码，其中大数的对数算法 就是应用了AGM算法。 GMP 中的计算对数的算法 应该也很优秀，但其算法为何，我尚未分析。

 2。1975年，RICHARD P. BRENT（Australian National University, Canberra,Australia） 在JACM 发表了 题为"Fast Multiple-Precission Evaluation of Elementary Functions"的论文，该论文从理论上 解决了 所有初等函数（对数，指数，三角函数的算法复杂度问题），关于该论文，我是从 计算机程序设计的艺术 一书中得到线索的。

 3。我自己独创了一种基于泰勒公式（其实现比较复杂）的算法，预计计算中等长度（如精确到几十到几百位 有效数字）应该快于以上提到的所有算法，算法很复杂，目前尚未实现。

 4。其他资料，你可以用google 按关键字“Numerical algorithms II elementary functions”查找，可得到一些初等函数算法的资料。查“The logarithm constant  $log(2)$“，可得到一篇在 计算ln(2)方面最翔实的文章。