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[专家分：0] 发布于 2008-06-10 06:37:00
我的毕业设计，但自己太菜了。跪求大虾编个程序。资料已上传。
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1 小波变换与信号奇异性检测
信号发生突变的时刻称为信号的奇异点.无限次可导的函数为光滑的或没有奇异性.奇异性检测就是要将信号的奇异点识别出来并判断其奇异性指数.数学上,通常用Lipschitz α来刻画信号的奇异性,Lipschitz α越大,函数越光滑.
小波变换的模极大值通常对应着信号的突变点.定理1 给出了利用小波变换模极大值进行奇异性检测的原理.
定理1设函数f(x) 的小波变换Wf( s ,x) 定义在( a ,b) 上,x0 ∈ ( a ,b) ,若存在尺度s0 > 0 及常数C,使得∀ x0 ∈ ( a ,b) 和s0 < s ,Wf( s ,x) 的局部极大值在如下影响锥之内:
| x - x0 | ≤ Cs
则① 对于任意的x1 ∈ ( a ,b) ,x1 ≠ x0 ,f(x) 在x1 的一个邻域内为Lipschitz n .②α为小于n的非整数,函数
f(x) 在x0 处为Lipschitz α,当且仅当存在常数A,使得在式(1) 定义的锥内的每一模极大值有:
Wf( s ,x) ≤ As
上式等价于:
log Wf( s ,x) ≤ logA + αlogs
如果小波变换的模极大值满足定理1 要求的影响锥分布,则式(3) 说明函数f(x) 在x0 点的奇异性指数为满足式(3) 的最大斜率值.
2 脉冲响应的奇异性与系统阶次差的关系
在本文中信号的奇异点位于系统脉冲响应的起始点.定理2 揭示了系统脉冲响应的奇异性与系统阶次之间的关系,此定理为本文提出的基于小波变换进行阶次辨识的算法提供了理论依据.
定理2 线性时不变系统G( s) 的脉冲响应在其起始点的Lipschitz 指数为α,α满足n - m < α + 1 <n - m + 1 .其中,
n > m; b0 ≠ 0
证明 令y( t) 为线性系统g( t) 的脉冲响应,Y( s) 和G( s) 分别为y( t) 和g( t) 的拉氏变换.由拉氏变换的性质可得
Y(s)=
令阶次差k = n - m,则
由式(6) 和(7) ,根据Laplace 反变换的性质可知,y( t) 是k - 1 次可微的,但是k次不可微的.所以系统在脉冲响应的起始处的Lipschitz 指数α满足k - 1 < α < k ,即n - m < α+ 1 < n - m + 1 .证毕.
定理2 说明系统在脉冲响应起始点处的奇异性指数Lipschitz α与系统的分子和分母的阶次存在着一定
的关系,即分子、分母的阶次满足n - m < α+ 1 < n - m + 1 .
3 利用小波变换来确定模型阶次的算法
本文借助于小波变换的方法来计算系统在单位脉冲响应起始点处的Lipschitz 指数,继而确定模型的阶
次差.具体的算法如下:
① 获得系统的单位脉冲响应.
② 选择具有适当消失矩的小波,计算二进尺度为 ,j = 0 ,1 ,… , 的小波变换,并且得到这些尺度下的小波变换模极大值.
③ 根据 ,用线性方程拟合模极大值的对数 与j 之间的线性关系,从而得到的斜率值即为Lipschitz α.
④ α+ 1 的值四舍五入取整即为系统的阶次差
在本算法中,选取的小波变换的尺度为 ,j = 0 ,1 ,… , ,这样的取法大大减少了计算量,同时也使步
骤③ 的线性拟合的精度受到一定的影响.由于奇异性指数Lipschitz α反映了函数在某一点的正则性,因此在
步骤④ 中应对α+ 1 采取四舍五入的原则取整得到阶次差.
4 仿真结果(均采用db7 小波)
4.1 不含噪声线性时不变系统的阶次差辨识
表1 分别对一阶、二阶和三阶线性时不变系统进行阶次差的辨识.对于不同的采样时间,尽量考虑了不同的零极点分布、时间常数、系统增益等情况.从表1 可以看出针对各种情况,利用本算法都能够准确地辨识出系统分子与分母的阶次差.由表1 还可以看出信号的Lipschitz 指数α与采样频率也有一定的关系.由于采样频率越小,离散信号越不光滑,计算出的Lipschitz 指数α就越小.
表1 线性时不变系统在无噪声情况下的阶次辨识结果
序号 系统 阶次差 α + 1(Ts = 0 .1 s) α+ 1(Ts = 0 .01 s)
1 1 1.25 7 1 1 .401 8
2 1 0.7993 1.2571
3 1 0.6783 0.7993
4 1 0.7993 1.2571
5 2 1.7187 2.2174
6 1 0.9002 1.4565
7 3 2.6054 3.0335
8 2 2.3778 2.3492
4.2 含噪声线性时不变系统的阶次差辨识
表2 给出了含高斯白噪声的系统Ga ( s) =1/( s + 2)( s + 3)和Gb ( s) = (s + 1)/( s + 2)( s + 3)在不同尺度小波变换下辨识出的阶次差(尺度为 ,j = 0 ,1 ,… ,8 ,Ts = 0.01 s ,小波为db7 ,SNR = 10 dB) .从表2 可以看出在含有白噪声的情况下,在小尺度下进行小波变换后辨识出来的结果是不正确的.而在大尺度下辨识出来的结果还是相当准确的.这是由于白噪声的小波变换随着尺度的增大而减小的缘故.因此在存在噪声的情况下可以通过较大尺度下的小波变换准确地辨识出阶次差.
表2 含噪声信号在多尺度小波变换下计算的Lipschitz α的值
系统 阶次 差所选j的值 0-8 0-6 0-4 0-2 4-8 6-8 6-10
Ga(s) 2 α+1 1.3937 1.2406 1.3631 2.5631 1.5795 1.8489 1.6419
Gb(s) 1 α+1 1.3412 1.6084 1.7906 1.7828 1.3029 1.1856 0.8646
要可以发到我邮箱。pangjiaoxiao2008@126.com
1 小波变换与信号奇异性检测
信号发生突变的时刻称为信号的奇异点.无限次可导的函数为光滑的或没有奇异性.奇异性检测就是要将信号的奇异点识别出来并判断其奇异性指数.数学上,通常用Lipschitz α来刻画信号的奇异性,Lipschitz α越大,函数越光滑.
小波变换的模极大值通常对应着信号的突变点.定理1 给出了利用小波变换模极大值进行奇异性检测的原理.
定理1设函数f(x) 的小波变换Wf( s ,x) 定义在( a ,b) 上,x0 ∈ ( a ,b) ,若存在尺度s0 > 0 及常数C,使得∀ x0 ∈ ( a ,b) 和s0 < s ,Wf( s ,x) 的局部极大值在如下影响锥之内:
| x - x0 | ≤ Cs
则① 对于任意的x1 ∈ ( a ,b) ,x1 ≠ x0 ,f(x) 在x1 的一个邻域内为Lipschitz n .②α为小于n的非整数,函数
f(x) 在x0 处为Lipschitz α,当且仅当存在常数A,使得在式(1) 定义的锥内的每一模极大值有:
Wf( s ,x) ≤ As
上式等价于:
log Wf( s ,x) ≤ logA + αlogs
如果小波变换的模极大值满足定理1 要求的影响锥分布,则式(3) 说明函数f(x) 在x0 点的奇异性指数为满足式(3) 的最大斜率值.
2 脉冲响应的奇异性与系统阶次差的关系
在本文中信号的奇异点位于系统脉冲响应的起始点.定理2 揭示了系统脉冲响应的奇异性与系统阶次之间的关系,此定理为本文提出的基于小波变换进行阶次辨识的算法提供了理论依据.
定理2 线性时不变系统G( s) 的脉冲响应在其起始点的Lipschitz 指数为α,α满足n - m < α + 1 <n - m + 1 .其中,
n > m; b0 ≠ 0
证明 令y( t) 为线性系统g( t) 的脉冲响应,Y( s) 和G( s) 分别为y( t) 和g( t) 的拉氏变换.由拉氏变换的性质可得
Y(s)=
令阶次差k = n - m,则
由式(6) 和(7) ,根据Laplace 反变换的性质可知,y( t) 是k - 1 次可微的,但是k次不可微的.所以系统在脉冲响应的起始处的Lipschitz 指数α满足k - 1 < α < k ,即n - m < α+ 1 < n - m + 1 .证毕.
定理2 说明系统在脉冲响应起始点处的奇异性指数Lipschitz α与系统的分子和分母的阶次存在着一定
的关系,即分子、分母的阶次满足n - m < α+ 1 < n - m + 1 .
3 利用小波变换来确定模型阶次的算法
本文借助于小波变换的方法来计算系统在单位脉冲响应起始点处的Lipschitz 指数,继而确定模型的阶
次差.具体的算法如下:
① 获得系统的单位脉冲响应.
② 选择具有适当消失矩的小波,计算二进尺度为 ,j = 0 ,1 ,… , 的小波变换,并且得到这些尺度下的小波变换模极大值.
③ 根据 ,用线性方程拟合模极大值的对数 与j 之间的线性关系,从而得到的斜率值即为Lipschitz α.
④ α+ 1 的值四舍五入取整即为系统的阶次差
在本算法中,选取的小波变换的尺度为 ,j = 0 ,1 ,… , ,这样的取法大大减少了计算量,同时也使步
骤③ 的线性拟合的精度受到一定的影响.由于奇异性指数Lipschitz α反映了函数在某一点的正则性,因此在
步骤④ 中应对α+ 1 采取四舍五入的原则取整得到阶次差.
4 仿真结果(均采用db7 小波)
4.1 不含噪声线性时不变系统的阶次差辨识
表1 分别对一阶、二阶和三阶线性时不变系统进行阶次差的辨识.对于不同的采样时间,尽量考虑了不同的零极点分布、时间常数、系统增益等情况.从表1 可以看出针对各种情况,利用本算法都能够准确地辨识出系统分子与分母的阶次差.由表1 还可以看出信号的Lipschitz 指数α与采样频率也有一定的关系.由于采样频率越小,离散信号越不光滑,计算出的Lipschitz 指数α就越小.
表1 线性时不变系统在无噪声情况下的阶次辨识结果
序号 系统 阶次差 α + 1(Ts = 0 .1 s) α+ 1(Ts = 0 .01 s)
1 1 1.25 7 1 1 .401 8
2 1 0.7993 1.2571
3 1 0.6783 0.7993
4 1 0.7993 1.2571
5 2 1.7187 2.2174
6 1 0.9002 1.4565
7 3 2.6054 3.0335
8 2 2.3778 2.3492
4.2 含噪声线性时不变系统的阶次差辨识
表2 给出了含高斯白噪声的系统Ga ( s) =1/( s + 2)( s + 3)和Gb ( s) = (s + 1)/( s + 2)( s + 3)在不同尺度小波变换下辨识出的阶次差(尺度为 ,j = 0 ,1 ,… ,8 ,Ts = 0.01 s ,小波为db7 ,SNR = 10 dB) .从表2 可以看出在含有白噪声的情况下,在小尺度下进行小波变换后辨识出来的结果是不正确的.而在大尺度下辨识出来的结果还是相当准确的.这是由于白噪声的小波变换随着尺度的增大而减小的缘故.因此在存在噪声的情况下可以通过较大尺度下的小波变换准确地辨识出阶次差.
表2 含噪声信号在多尺度小波变换下计算的Lipschitz α的值
系统 阶次 差所选j的值 0-8 0-6 0-4 0-2 4-8 6-8 6-10
Ga(s) 2 α+1 1.3937 1.2406 1.3631 2.5631 1.5795 1.8489 1.6419
Gb(s) 1 α+1 1.3412 1.6084 1.7906 1.7828 1.3029 1.1856 0.8646